一）函数的点连续定义

若函数f(x)在点x0的某个领域内有定义，且成立lim[x→x0] f(x) = f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续，x0点被称为函数f(x)的一个连续点。

显然，所谓的函数点连续就是此点上的函数值等于函数在此点上的极限。如果这个关系仅对于函数的左（右）极限成立（即lim[x→x0-] f(x) = f(x0)（lim[x→x0+] f(x) = f(x0)）），则称此为左（右）连续。左右连续性在讨论闭区间的端点连续性和点的非连续特性时起着非常重要的作用。

如果函数f(x)在区间内各点连续，则称此函数在区间X上（点）连续。注意，这里所谓的区间上（点）连续其实仅是此区间上的各点连续性而已。若区间X含端点，则其端点的连续性将以其左或右连续性来定义。

二）函数的区间连续（一致连续）定义

若函数f(x)在区间X上有定义，且∀ε>0,∃δ,∀x1∈X,∀x2∈X,|x1-x2|<><>

显然，一致性连续是整个区间内函数的连续特性，而非个别点的连续性。

三）不连续点（间断点）的类型

不连续点虽然其上函数都是非连续的，但其不连续的类型有所不同，简单分类如下：

1）第一类间断点

函数在间断点上的左右极限存在，但此等式lim[x→x0-] f(x) = lim[x→x0+] f(x) = f(x0)不成立。如果成立lim[x→x0-] f(x) = lim[x→x0+] f(x) ≠ f(x)，则此间断点称为可去间断点，即可以通过重新定义x0点上的函数f(x0)使之连续。如果lim[x→x0-] f(x) ≠ lim[x→x0+] f(x)，则此间断点称为跳跃间断点。

2）第二类间断点

凡是函数在间断点上的单侧极限不存在的，都属此类。如果单侧极限趋于无穷，则称为无穷间断点。如果单侧极限为“振荡”非收敛的，则称为振荡间断点。

四）连续函数的运算及其反函数和复合函数

1）四则运算

若lim[x→x0] f(x) = f(x0)和lim[x→x0] g(x) = g(x0)，即f(x)和g(x)在x0点处连续，则

a）lim[x→x0] (a f(x) + b g(x)) = a f(x0) + b f(x0)

即f(x)和g(x)的线性组合在x0点处也连续。

b）lim[x→x0] (f(x)g(x0)) = f(x0)g(x0)

即f(x)g(x)在x0点处也连续。

c）lim[x→x0] (f(x)/g(x)) = f(x0)/g(x0) （g(x0)≠0）

即，如果g(x0)≠0，则f(x)/g(x)在x0点处也连续。

2）反函数

若函数f(x)在其定义域Df内严格单调且连续，则存在反函数f⁻¹(x)且同样连续。

3）复合函数

若函数u=g(x)在点x0连续，设g(x0)=u0。又若函数y=f(u)在点u0连续，则复合函数y=f(g(x))在点x0处连续。

至此可以判断，一切初等函数在其定义域内连续。

五）函数的点连续和区间一致连续的关系

康托尔定理：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上（点）连续，则它在此闭区间上一致连续。

证略。

六）闭区间上连续（即一致连续）函数的一些性质（简单罗列）

1）有界定理

2）最值定理

3）零点定理

4）介值定理